Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем. Функция. Степенная функция Степенная функция с целым показателем ее график
Степенная функция - это функция вида y = x p , где p - заданное действительное число.
Свойства степенной функции
- Если показатель p = 2n
- четное натуральное число:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;
- функция четная;
- функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.
- Если показатель p = 2n - 1
- нечетное натуральное число:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция нечетная;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
- Если показатель p = -2n
, где n
- натуральное число:
- множество значений - положительные числа y > 0;
- функция четная;
- функция является возрастающей на промежутке x 0.
- Если показатель p = -(2n - 1)
, где n
- натуральное число:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция нечетная;
- функция является убывающей на промежутках x 0.
- Если показатель p
- положительное действительное нецелое число:
- область определения - неотрицательные числа x ≥ 0;
- множество значений - неотрицательные числа y ≥ 0;
- функция является возрастающей на промежутке x ≥ 0.
- Если показатель p
- отрицательное действительное нецелое число:
- область определения - положительные числа x > 0;
- множество значений - положительные числа y > 0;
- функция является убывающей на промежутке x > 0.
Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.
Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x 2n , гдеn - натуральное число, обладает следующими
свойствами:
область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
функция y=x 2n четная, так какx 2n =(-x) 2n
функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
График функции y=x 2n имеет такой же вид, как например график функцииy=x 4 .
2. Показатель p=2n-1 - нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
область определения - множество R;
множество значений - множество R;
функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;
функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3 .
3.Показатель p=-2n , гдеn - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:
множество значений - положительные числа y>0;
функция y=1/x 2n четная, так как1/(-x) 2n =1/x 2n ;
функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
График функции y=1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x 2 .
4.Показатель p=-(2n-1) , гдеn - натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x -(2n-1) обладает следующими свойствами:
область определения - множество R, кроме x=0;
множество значений - множество R, кроме y=0;
функция y=x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;
функция является убывающей на промежутках x<0 иx>0 .
График функции y=x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x 3 .
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x , для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
[Править]Свойства функции arcsin
[Править]Получение функции arcsin
Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной , и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений - . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой
На области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Свойства степенных функций и их графики
Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0
Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0
.
Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.
График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) =
(-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1
,
функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1
,
обратной функцией является корень степени n
:
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.
График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0
монотонно убывает
при x ≥ 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1
,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2
,
квадратный корень:
при n ≠ 2
,
корень степени n
:
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде:
График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .
Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1
,
при n < -2
,
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2
,
при n < -2
,
Степенная функция с рациональным (дробным) показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.
Знаменатель дробного показателя - нечетный
Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.
Показатель p отрицательный, p < 0
Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .
Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...
Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1
График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
-∞ < y < +∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вниз
при x > 0
:
выпукла вверх
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...
Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
0 ≤ y < +∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно убывает
при x > 0
:
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Показатель p больше единицы, p > 1
График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
монотонно убывает
при x > 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Знаменатель дробного показателя - четный
Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).
Степенная функция с иррациональным показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.
y = x p при различных значениях показателя p .
Степенная функция с отрицательным показателем p < 0
Область определения:
x > 0
Множество значений:
y > 0
Монотонность:
монотонно убывает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Пределы:
;
Частное значение:
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Степенная функция с положительным показателем p > 0
Показатель меньше единицы 0 < p < 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вверх
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Показатель больше единицы p > 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .
В случае если n дробное число p / q с четным знаменателем q и нечетным числителем р , то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х , причем она симметрична верхней части.
Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью.
Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).
Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .